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浅谈极限思想的渗透与培养

来源:  作者:  时间:2021-05-06

摘要:《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《课标》)指出:通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验—由“双基”变成“四基”。还指出:通过义务教育阶段的数学学习,学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学思维方式进行思考,增强发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”—由“双能”变成“四能”。

关键词:极限思想,渗透,培养

在课程设计中提出十个数学课程与教学应当注重发展的核心概念,包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型能力、应用意识和创新意识。这些新理念将给我们的教育带来什么样的变革与启示?一系列的改变背后预示着哪些信息?

1透过《课标》看当下教学的导向与趋势    

新的课程设计以基本思想为主线,以操作、实践活动为主来积累数学活动经验,以创新意识为核心,以“联系”为途径渗透在教学过程中,以培养数学的思维为价值追求。    

《课标》将九年的学习时间划分为三个学段,第一、二学段数学教学内容有两条主线:一是明线—数学基础知识,写在教材上;一是暗线—数学思想方法,需要教师有意识地挖掘并在教学中予以渗透和落实。数学思想是数学科学发生、发展的根本,是探索研究数学所依赖的基础,也是数学课程教学的精髓。《课标》明确了数学的“基本思想”主要有数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想。数学的“基本思想”派生出许多思想,如数形结合思想、转化思想、函数思想、极限思想等,教师在教学中,让学生经历操作过程、思考过程、概括过程、应用过程,让知识、能力、思想和经验蕴含其中。

2第一、二学段极限思想的特点    

由于这个学段学生的年龄特点的限制,他们对具体的、数量有限的事物容易理解,对抽象的、数量无限的事物难以把握。但教师不能因难而退,不能无视极限思想方法的重要性,还应该着眼于学生的长远发展及终身发展。因此,我们在第一、二学段数学教学中应针对学生的特点,将极限思想的方法进行适度的渗透和培养。作为教师,应该抓住机会采用分层渗透的办法,切不可急功近利。    

(1)从有限到无限,帮助学生理解无限。    

①理解数的无限多;    

②理解形的无限延伸。    

以上两点是从数与形两个不同方面体现了“无限”的观念,但它并不是真正意义上的“极限”,然而,培养学生的无限观念是形成极限思想的基础,离开无限谈极限是没有任何意义的。所以,不能因“无限半极限”而忽视对无限性的理解。    

(2)无限护极限,帮助学生理解逼近。    

由于这个学段学生的生活经验、数学知识还比较贫乏,他们只能通过一些具体的事例,从“无限”人手,逐渐感悟什么是“无限地逼近”,逐步理解“逼近”是形成极限思想的另一个重要方面。    

渗透极限思想,首先,要让学生感知有限;其次,在有限认识的基础上帮助学生构建知识表象,结合想象让学生体验无限;最后,在感受无限的过程中飞跃到感知极限,从而感悟极限思想。

3在各个领域的学习中渗透极限思想

3. 1在数与代数领域渗透极限思想    

数与代数领域的学习是这个学段学习的重点,占总教学比例的近6000,并且贯穿六年学习的始终,也是学生最先接触、最易理解的内容。随着学生数学学习的深人,对无限乃至极限会体会的越来越深刻。    

数轴(数线)在北师大版教材中大量出现并且贯穿始终,对于数轴(数线),从一年级认识数开始就反复出现,随着认识领域的加深,学生对它的认识越来越丰富,有许多知识点会涉及数量无限多的情况。    

如自然数是无限的;奇数、偶数的个数有无限多个;循环小数,它的小数点后面的数字是无限的;商不变的性质:除法中被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数((0除外),商不变。这里的相同的倍数可以是整数、分数、小数,可以无限大,也可以无限小,结果是无限的。例题(略)    

无论是哪种解决的方法,在这个过程中1"被等分的份数逐渐增加,所得的分数单位将逐步减小。分的份数逐渐增加,直到无数多份时,这便是一个无限的过程。在这无限的过程中,分的份数是无限多的,而所得的每份就是无穷小的分数单位。不论怎么分都不能达到最小值,因此也就不存在最小的分数单位。    

数轴(线)使数与点一一对应,揭示数与形的内在联系,是数形结合的基础。数轴的数是分散的又是密集的,数轴的长度两端无限延伸、数轴上的数是无限的、数轴上点与点之间可分成无限份、点与点之间的数是无限的……

在数与代数领域渗透极限思想对学生数感、符号感、运算能力、数形结合等数学素养都会有很好的提升。同时也为初中进一步认识数轴、学习数轴的特性、数的拓展打下坚实的基础。

3. 2在空间与图形领域渗透极限思想    

《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之捶,日取其半,万世不竭。”一尺之捶是一个有限的物体,但他却可以无限地分割下去,这就是无限与有限的统一。圆的面积和圆柱体积公式的推导都是极好运用极限思想的例子。    

把一个圆分割为完全相同的小扇形,并试图拼成长方形。从平均分成4个、8个、到16个,再到32个、64个……完全相同的小扇形所拼成的图形就真的变成了长方形,因为边越来越直了。这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”采用了“变曲为直”“化圆为方”的极限分割思路。通过有限想象无限,既使学生掌握了算理,又渗透了无限逼近的极限思想。    

五年级上学期学习完梯形的面积或者在学习完“圆的面积”推导后,我们可以对所学知识进行整理,从而建立起知识的联系。    

区别于教科书以“长方形”为核心进行推导的研究方法,这种以梯形为核心进行梳理的主要手段就是借助极限的思想将公式进行联络。利用极限思想拉动上底到最小、最大得到三角形和平行四边形,从而推导出相关的面积计算公式。帮助学生建立新的知识网络(1)    

此外,《数学》六年级上册设计让学生尝试动手画斐波那契螺旋线,将正方形作为辅助图形,以它的边长作为半径画弧线,依次旋转地画下去,并将每段弧联结。螺旋线的长度随着正方形边长的增加而增加。螺旋线间不相交,在纸张允许的情况下,可以无限延伸下去。画螺旋线不仅让学生积累了操作活动经验,而且渗透了极限的数学思想,让学生认识到螺旋线的无限延伸性。    

空间与图形领域有许多概念具有无限性,如直线、射线、角的边、平行线的长度等它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的,它们只是存在于人脑的想象之中,是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此,通过极限思想的渗透在空间与图形教学中培养学生的几何直观、推理能力、空间想象力等数学素养,促使学生的整体素养得到提升。

3. 3在统计与概率领域渗透极限思想    

随着信息技术的发展,数字化时代的到来,人们越来越需要与数据打交道,用数据描述客观世界中的现象。在《课标》中,数据分析观念已经成为“统计与概率”的核心概念。由“统计观念”到“数据分析观念”点出统计的核心是数据分析。通过数据分析体验随机性,体会数据中蕴含的信息,体会收集和分析数据的科学和艺术。    

概率是研究随机现象的科学,大量的随机现象表面上是无规律可循,在相同的条件下出现的结果是事先无法预料的,但当我们大量反复试验时,试验的每个结果都会呈现出频率的稳定性。    

在教学五年级上册“摸球游戏”一课中,在袋中放红球和黄球共10个,通过摸球猜测哪种球的数量多。要求学生摸20次,并且每摸5次根据数据进行猜测结果,让学生充分体验数据的作用,体会摸球是一种随机现象,是不可预测的。而用试验方法推测结果会受数据的影响,可能会出现错误,但当数据越来越多的时候,它会呈现出一种规律,这种规律会随着数据的无限增大更趋于准确。上课时出现这样一个环节,明明袋中的黄球和红球数量同样多,但摸了60次后出现摸到黄球25次、红球35次的情况,这时教师问学生:(1)为什么摸的次数同样多却会出现这样的数据,这个数据有问题吗?<2)如果再继续摸球,你期待这组数字会是多少?学生回答。期待60次红和60次黄;200次红和200次黄。这说明学生对可能性、随机性的认识还是错误的。这时教师给出一组数据让学生观察。    

小资料:历史上著名的数学家抛硬币的结果统计如表1:略。    

看到这组数据学生一方面感叹科学家们认真严谨的研究态度,另一方面感受到:虽然抛硬币的结果是有随机性,但随着数据的加大,再加大,当达到无限大时,它是有规律的,而且大数据面前,人们判断错误的可能性大大降低,准确率越来越高,但还是具有随机性。    

在统计与概率领域渗透、培养学生的极限思想,有助于学生数据分析能力的提升。统计的核心是数据分析,更重要的是有助于学生形成尊重事实、用数据说话的态度。通过用数据说话,通过数据做出合理的推断,是社会的需要,也是人生存的需要。

3. 4在综合与实践领域渗透极限思想    

《课标》把“实践与综合运用”改成“综合与实践”,凸显两个非常重要的特征,一是综合性,另一个是实践性。首先强调综合性,综合是一种思维方式;实践是探索精神,要求学生综合运用知识去解决问题。在这一过程中,数学思想会被充分地运用,极限思想在这其中也可以适时地得以渗透。教材中提供了丰富的素材培养学生的创新精神、应用意识、问题意识、活动经验,如鸡兔同笼、起跑线、一起去秋游、卷圆柱…    

“卷圆柱”一课中,教师借用一张A4纸围沙子的活动—看谁围的沙子最多。要解决这个问题,我们应该从哪里人手?教师设计了如下两个活动:    

活动1:看看这张A4纸到底能围多少立方分米的沙子?(为了计算方便,A4纸的数据是29. 7 cm X21 cm,我们取30 cm X 20 cm)    

活动2:如果允许动剪刀把纸剪成两部分后联结起来再围,是否能把体积变大些呢?请你试一试如何做会使体积变得更大?    

计算圆柱体的体积,把数据填在表2(略)中。    

教师:!一剪刀下去体积最多是原来的2倍,好奇妙啊!那我们想装更多的沙子可以吗?    学生:我们可以再剪一刀,联结起来再卷成圆柱,这样体积还会扩大2倍,4倍,8倍,16倍……,这样可以装下更多的沙子。    

教师:但是不可能无限制的剪,纸是有高度的,那如果想再扩大还有办法吗?……    

教师:我们能否把圆柱依靠在墙边或墙角,那样会发生什么情况呢?把圆柱靠在墙边,会使周长、半径扩大2倍,底面积扩大4倍,体积将扩大4倍。如果我们把它放在墙角,靠在墙角,会使周长、半径扩大4倍,底面积扩大16倍,体积将扩大16倍。这样下去装的沙子将无限多。看似一张简单无奇的纸,经过我们的剪、拼居然能装下无穷无尽的沙子,简直太神奇了。    

在学习的过程中,学生体会到在纸大小(侧面积)不变的情况下,底面积和高之间的变化,引起体积的变化。体会正反比例,体会函数思想的渗透。同时,随着数据的不断变化,一张A4纸所能围住的沙子逼近无限,体会极限思想的渗透。    

可见,在综合实践领域培养学生的极限思想有助于学生应用意识、空间观念、推理能力、创新意识等核心素养的提升。

4夯实数学极限思想,促进数学素养的提升    

极限思想是人类思想文化宝库中的瑰宝,是对数学知识的本质反映,是知识向能力转化的纽带。极限思想是一种重要的基本数学思想,它能加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解,提高学生解决问题的能力和思维能力。在数学教材中,能够体现数学极限思想方法的因素极为广泛,教学中,教师应注意挖掘,并抓住适当的时机,站在数学思想方法的高度,以“活动”为载体,以传承“基本知识”、掌握“基本思想”为结果性目标,将这一思想和方法适度地渗透给学生,促进学生数学素养的提升,为他们以后建构新的数学知识体系,进一步拓宽数学空间,走出校门后去独立学习和研究更高深的数学理论夯实基础。

本文摘自新智慧杂志。



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